Контактная и почти контактная структуры на вещественном расширении плоскости Лобачевского

В работе рассмотрена групповая модель $\mathbb{G}$ вещественного расширения плоскости Лобачевского $\mathbb{H}^2 \times \mathbb{R}$. Группа $\mathbb{G}$ является группой Ли матриц специального вида и подгруппой полной линейной группы $GL(3, \mathbb{R})$. Доказано, что на групповой модели вещественного расширения плоскости Лобачевского существует единственная левоинвариантная почти контактная метрическая структура с римановой метрикой прямого произведения, инвариантная относительно группы изометрий. Введено понятие линейной связности, согласованной с распределением. Найдены все левоинвариантные линейные связности, относительно которых тензоры почти контактной метрической структуры $(\eta, \xi, \varphi, g)$ ковариантно постоянны. Среди левоинвариантных дифференциальных $1$-форм выделена каноническая форма, определяющая на $\mathbb{G}$ контактную структуру. Найдены левоинвариантные контактные метрические связности. Имеется единственная левоинвариантная связность, относительно которой все тензоры почти контактной метрической структуры и каноническая контактная форма ковариантно постоянны. Доказано, что данная связность согласована с контактным распределением в том смысле, что через каждую точку в каждом контактном направлении проходит единственная геодезическая, касающаяся контактного распределения. Найдены параметрические уравнения геодезических данной связности. Установлено также, что связность Леви-Чивита римановой метрики прямого произведения не является связностью, согласованной с контактным распределением.