RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки // Архив

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2023, том 42, номер 1, страницы 9–26 (Mi vkam581)

МАТЕМАТИКА

Разрешимость нелокальной обратной задачи для уравнения четвертого порядка

А. Б. Бекиев

Каракалпакский государственный университет имени Бердаха

Аннотация: В данной работе для уравнения в частных производных четвертого порядка в прямоугольной области рассмотрена нелокальная обратная задача по поиску неизвестной правой части, которая зависит от одной переменной. Собственные функции и присоединенные функции соответствующей спектральной задачи, и их биортогональные функции полны и образуют базис Рисса в пространстве $L_2(0,1)$. Установлены критерии единственности и существования решения рассматриваемой нелокальной обратной задачи для уравнения четвертого порядка. Единственность решения нелокальной обратной задачи вытекает из полноты системы биортогональных функций. Решение задачи построено в виде суммы ряда по собственным и присоединенным функциям, соответствующей спектральной задачи. Установлены достаточные условия на граничные функции, которые гарантируют теоремы существования и устойчивости решения рассматриваемой задачи. В замкнутой области показана абсолютная и равномерная сходимость найденного решения обратной задачи в виде ряда, а также рядов, полученных почленным дифференцированием по $t$ и $x$ соответственно два и четыре раза, в зависимости от гладкости функции заданными начальными условиями. При этом возникают малые знаменатели, затрудняющие сходимость этих рядов. Доказано, что в зависимости от размера области, множество ненулевых решений выражения в знаменателе не пусто. А также, показано, что если этот знаменатель равен нулю, то данная задача будет иметь нетривиальное решение при однородных условиях. Доказана также, устойчивость решения обратной задачи по нормам пространств $L_2$, $W_2^n$ и $C(\Omega_\pm)$, относительно изменения входных данных.

Ключевые слова: уравнение четвертого порядка, обратная нелокальная задача, единственность, существование, устойчивость.

УДК: 517.95

MSC: 35K35

DOI: 10.26117/2079-6641-2023-42-1-9-26



© МИАН, 2024