Задача Коши для уравнения с дробной производной Джрбашяна – Нерсесяна с запаздывающим аргументом

Последние десятилетия количество работ, посвященных исследованию задач для дифференциальных уравнений дробного порядка, заметно растет. Интерес исследователей вызван тем, что количество областей науки, в которых используются уравнения, содержащие дробные производные, варьируется от биологии и медицины до теории управления, инженерии, финансов, а также оптики, физики и так далее. Включение запаздывания в уравнение дробного порядка существенно влияет на ход процесса, описываемого этим уравнением, так как неизвестная функция задается при различных значениях аргумента, что вносит эффект предыстории в уравнение. Поэтому, математические модели, содержащие дробный оператор и запаздывающий аргумент, более точны, чем модели, содержащие производные целого порядка. В данной работе исследуется задача Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом c оператором дробного дифференцирования Джрбашяна – Нерсесяна, обобщающим известные дробные операторы Римана – Лиувилля и Герасимова – Капуто. Результаты работы получены с использованием методов теории целого и дробного исчислений, методов теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, метода специальных функций. В работе доказывается теорема о справедливости аналога формулы Лагранжа. Также доказано, что специальная функция $W_{\gamma_m}(t)$, которая, в свою очередь, определяется через обобщенную функцию Миттаг – Леффлера (или функция Прабхакара), удовлетворяет уравнению и условиям, сопряженным исследуемому, и является фундаментальным решением рассматриваемого уравнения. Сформулирована и доказана теорема существования и единственности решения начальной задачи. Решение поставленной задачи выписано в терминах специальной функции $W_\nu(t)$.