A note on surjective polynomial operators

Линейная цепь Маркова является случайным процессом с дискретными состояниями, переходы которого зависят только от текущего состояния процесса. Нелинейная цепь Маркова — случайный процесс с дискретными состояниями, переходы которого могут зависеть как от текущего состояния, так и текущего распределения процесса. Эти процессы естественным образом возникают при изучении предельного поведения большого количества слабо взаимодействующих марковских процессов. Нелинейные марковские процессы были введены Маккином и широко изучались в контексте нелинейных уравнений Чапмана–Колмогорова, а также нелинейных уравнений Фоккера–Планка. Нелинейная цепь Маркова над конечным пространством состояний может быть определена непрерывным отображением (нелинейным оператором Маркова), определяемым на множестве всех вероятностных распределений (являющемся симплексом) конечного пространства состояний семейством матриц перехода, зависящих от распределения вероятностей занятия состояний. В частности, линейный оператор Маркова является линейным оператором, связанным с квадратной стохастической матрицей. Хорошо известно, что линейный оператор Маркова будет сюръекцией симплекса в том и только в том случае, когда он является биекцией. Аналогичная задача для нелинейного оператора Маркова, связанного со стохастической гипер-матрицей, оставалась открытой. Она решена в данной статье, а именно, показано, что нелинейный оператор Марков, связанный со стохастической гипер-матрицей, является сюръекцией симплекса, если и только если он является перестановкой оператор Лотки–Вольтерра.