Unbounded convergence in the convergence vector lattices: a survey

Исторически, разнообразные сходимости в векторных решетках являлись предметом глубоких исследований восходящих к началу XX века. Изучение неограниченной порядковой сходимости было инициировано Накано в конце 40-х годов, в связи с эргодической теоремой Биркгофа. Идея Накано заключалась в том, чтобы определить сходимость почти всюду в терминах решеточных операций без прямого использования теории меры. Много лет спустя выяснилось, что неограниченная порядковая сходимость весьма полезна в теории вероятностей. С тех пор идея исследования различных сходимостей с помощью их неограниченных версий используется в различных контекстах. Например, неограниченные сходимости в векторных решетках привлекли внимание многих исследователей для того чтобы найти новые подходы к различным проблемам функционального анализа, теории операторов, вариационного исчисления, теории рисков в финансовой математике и т. д. Некоторые неограниченные сходимости, такие как неограниченная сходимость по норме или мультинорме, неограниченная $\tau$-сходимость, являются топологическими. Другие приведенные сходимости не являются топологическими в общем случае, например: неограниченная порядковая сходимость, неограниченная относительная равномерная сходимость, различные неограниченные сходимости в решеточно-нормированных решетках, и т. п. В настоящей работе представлены последние наиболее часто используемые сходимости в векторных решетках, с акцентом на соответствующих неограниченных сходимостях. Особое внимание уделяется случаю сходимости в решеточно мультипсевдонормированных векторных решетках, обобщающих большинство случаев, обсуждавшихся в литературе за последние 5 лет.