Эта публикация цитируется в
1 статье
Теорема о вложении элементарной сети
Н. А. Джусоеваa,
С. Ю. Итароваa,
В. А. Койбаевba a Северо-Осетинский гос. ун-т им. К.Л. Хетагурова
b Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН
Аннотация:
Пусть
$\Lambda$ — произвольное коммутативное кольцо с единицей,
$n$ — натуральное число,
$n\geq 2$. Система
$ \sigma = (\sigma_{ij}),$ $1\leq{i, j} \leq{n},$ аддитивных подгрупп
$\sigma_{ij}$ кольца
$\Lambda$ называется сетью (ковром) над кольцом
$\Lambda$ порядка
$n$, если
$ \sigma_{ir} \sigma_{rj} \subseteq{\sigma_{ij}}$ при всех значениях индексов
$i$,
$r$,
$j.$ Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью. Элементарная сеть
$\sigma = (\sigma_{ij})$,
$1\leq{i\neq{j} \leq{n}}$, называется дополняемой (до полной сети), если для некоторых аддитивных подгрупп (точнее, подколец)
$\sigma_{ii}$ кольца
$\Lambda$ таблица (с диагональю)
$\sigma = (\sigma_{ij}), 1\leq{i, j} \leq{n}$ является (полной) сетью. Другими словами, элементарная сеть
$\sigma$ является дополняемой, если ее можно дополнить (диагональю) до (полной) сети. Пусть
$\sigma = (\sigma_{ij})$ — элементарная сеть над кольцом
$\Lambda$ порядка
$n$. Рассмотрим набор
$\omega = (\omega_{ij})$ аддитивных подгрупп
$\omega_{ij}$ кольца
$\Lambda$, определенных для любых
$i\neq{j}$ формулой $\omega_{ij}=\sum_{k=1}^{n}\sigma_{ik}\sigma_{kj}$, где суммирование берется по всем
$k$, отличным от
$i$ и
$j$. Набор
$\omega= (\omega_{ij})$ аддитивных подгрупп
$\omega_{ij}$ кольца
$\Lambda$ является элементарной сетью, которую мы называем
элементарной производной сетью. Элементарную сеть
$\omega$ можно дополнить до (полной) сети стандартным способом, а также другим способом, который мы предлагаем в статье. Вводится также понятие сети
$\Omega=(\Omega_{ij})$, которую мы называем
сетью, ассоциированной с элементарной группой $E(\sigma)$. Следующая теорема является основным результатом статьи:
Элементарная сеть $\sigma$ индуцирует элементарную производную сеть $\omega=(\omega_{ij}) $ и сеть $\Omega=(\Omega_{ij})$,
ассоциированную с элементарной группой $E(\sigma)$,
причем $\omega\subseteq \sigma \subseteq \Omega$.
Если $\omega=(\omega_{ij})$ дополнить диагональю до полной стандартным способом, то для произвольного $r$ и любых $i\neq j$ будет $\omega_{ir}\Omega_{rj} \subseteq \omega_{ij}$ и $\Omega_{ir}\omega_{rj} \subseteq \omega_{ij}$.
Если же $\omega=(\omega_{ij})$ дополнить диагональю до полной вторым способом, то последние включения выполняются для любых $i$,
$r$,
$j$.
Ключевые слова:
сети, элементарные сети, сетевые группы, производная сеть, элементарная сетевая группа, трансвекция.
УДК:
512.5
Поступила в редакцию: 24.01.2018
DOI:
10.23671/VNC.2018.2.14721