О преобразованиях Дарбу для функций Бесселя

В работе обсуждаются элементарные преобразования Дарбу функций Бесселя. В теореме 1 мы приводим уточненную формулировку общего метода факторизации, восходящего к Э. Шредингеру, и вводим в рассмотрение взаимосвязанные дифференциальные подстановки $B_1$ и $B_2.$ В основной теореме 2 рассматриваются уравнения Бесселя — Риккати и элементарные преобразования Дарбу сводятся к дробно-линейным отображениям. Показано, что неподвижная точка такого отображения порождает рациональные по $x$ решения уравнений Бесселя — Риккати из теоремы 2. Отметим, что функции Бесселя рассматриваются в данной работе как собственные функции $A\psi=\lambda\psi$ операторов Эйлера вида $A=e^{2t}\left(D_t^2+a_1D_t+a_2\right)$ с постоянными коэффициентами $a_1$ и $a_2$. Это позволяет (лемма 3) построить асимптотические решения уравнений Бесселя — Риккати в виде степенных рядов по обратным степеням $z=kx$, $k^2=\lambda$, $x=e^{-t}$. Мы показываем, что эти формальные ряды по обратным степеням спектрального параметра $k=\sqrt \lambda$ сходятся, если существуют рациональные решения уравнений Бесселя — Риккати из теоремы 2.