RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Владикавказский математический журнал // Архив

Владикавк. матем. журн., 2019, том 21, номер 3, страницы 68–86 (Mi vmj700)

Алгебраическая запись полиномов Бернштейна на симметричном отрезке и связанные с ней комбинаторные соотношения

М. А. Петросоваa, И. В. Тихоновb, В. Б. Шерстюковc

a Московский педагогический государственный университет, Россия, 107140, Москва, ул. Краснопрудная, 14
b Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Россия, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, 1
c Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», Россия, 115409, Москва, Каширское шоссе, 31

Аннотация: Ставится вопрос о явной алгебраической записи полиномов Бернштейна по степеням независимой переменной. Кратко обсуждается общая постановка задачи на произвольном отрезке $[a,b]$. Для полноты картины напоминаются формулы Вигерта, действующие для коэффициентов полиномов Бернштейна на стандартном отрезке $[0,1]$. В центре внимания сейчас другой случай — симметричного отрезка $[-1,1]$, что представляет несомненный интерес для теории аппроксимации. В работе найдены выражения, регулирующие образование коэффициентов полиномов Бернштейна на $[-1,1]$. Для интерпретации ответа потребовалось ввести новые числовые объекты — специальные «трапеции Паскаля». Они строятся аналогично классическому треугольнику по своим «начальным» и «краевым» условиям. С трапециями Паскаля связаны разнообразные соотношения, во многом обобщающие привычные комбинаторные тождества. В работе проведено систематическое исследование подобных свойств; составлена сводка основных формул. Полученные результаты находят применение при изучении поведения коэффициентов полиномов Бернштейна на $[-1,1]$. Так, например, оказывается, что есть универсальная связь двух коэффициентов $a_{2m,m}(f)$ и $a_{m,m}(f)$, действующая при всех $m\in\mathbb{N}$ для любой функции $f\in C[-1,1]$. В итоге установлено существенное отличие картины на $[-1,1]$ от случая стандартного отрезка $[0,1]$. Намечен ряд перспективных тем для дальнейших исследований, часть из которых активно проводится в последнее время.

Ключевые слова: полиномы Бернштейна, симметричный отрезок, трапеции Паскаля, комбинаторные соотношения.

УДК: 517.518.82+519.117

MSC: 41A10, 11B83, 05A10, 05A19

Поступила в редакцию: 21.06.2016
Исправленный вариант: 22.06.2019

DOI: 10.23671/VNC.2019.3.36462



Реферативные базы данных:


© МИАН, 2024