Алгебраическая запись полиномов Бернштейна на симметричном отрезке и связанные с ней комбинаторные соотношения
М. А. Петросоваa,
И. В. Тихоновb,
В. Б. Шерстюковc a Московский педагогический государственный университет,
Россия, 107140, Москва, ул. Краснопрудная, 14
b Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова,
Россия, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, 1
c Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»,
Россия, 115409, Москва, Каширское шоссе, 31
Аннотация:
Ставится вопрос о явной алгебраической записи полиномов Бернштейна
по степеням независимой переменной. Кратко обсуждается общая постановка задачи на произвольном отрезке
$[a,b]$.
Для полноты картины напоминаются формулы Вигерта, действующие для коэффициентов полиномов Бернштейна на стандартном отрезке
$[0,1]$. В центре внимания сейчас другой случай — симметричного отрезка
$[-1,1]$,
что представляет несомненный интерес для теории аппроксимации. В работе найдены выражения, регулирующие образование коэффициентов полиномов Бернштейна на
$[-1,1]$. Для интерпретации ответа потребовалось ввести новые числовые объекты —
специальные «трапеции Паскаля». Они строятся аналогично классическому треугольнику
по своим «начальным» и «краевым» условиям. С трапециями Паскаля связаны разнообразные соотношения,
во многом обобщающие привычные комбинаторные тождества. В работе проведено систематическое исследование подобных свойств;
составлена сводка основных формул. Полученные результаты находят применение
при изучении поведения коэффициентов полиномов Бернштейна на
$[-1,1]$.
Так, например, оказывается, что есть универсальная связь двух коэффициентов
$a_{2m,m}(f)$ и
$a_{m,m}(f)$,
действующая при всех
$m\in\mathbb{N}$ для любой функции
$f\in C[-1,1]$.
В итоге установлено существенное отличие картины на
$[-1,1]$ от случая стандартного отрезка
$[0,1]$.
Намечен ряд перспективных тем для дальнейших исследований, часть из которых активно проводится в последнее
время.
Ключевые слова:
полиномы Бернштейна, симметричный отрезок, трапеции Паскаля, комбинаторные соотношения.
УДК:
517.518.82+
519.117
MSC: 41A10,
11B83,
05A10,
05A19 Поступила в редакцию: 21.06.2016
Исправленный вариант: 22.06.2019
DOI:
10.23671/VNC.2019.3.36462