Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье по многочленам, ортогональным на неравномерных сетках
А. А. Нурмагомедов Дагестанский государственный аграрный университет, Россия, 367032, Махачкала, пр. М. Гаджиева, 180
Аннотация:
В данной работе для произвольной непрерывной на отрезке
$[-1, 1]$ функции
$f(x)$ в случае целых положительных
$\alpha$ и
$\beta$ построены дискретные суммы Фурье
$S_{n,N}^{\alpha,\beta}(f,x)$ по системе многочленов $\{\hat{p}_{k,N}^{\alpha,\beta}(x)\}_{k=0}^{N-1},$ образующих ортонормированную систему на неравномерных сетках
$\Omega_N=\{x_j\}_{j=0}^{N-1},$ состоящих из конечного числа
$N$ точек отрезка
$[-1, 1]$ с весом типа Якоби.
Исследуются аппроксимативные свойства построенных частных сумм
$S_{n,N}^{\alpha,\beta}(f,x)$ порядка
$n\leq{N-1}$ в пространстве непрерывных функциий
$C[-1, 1].$
А именно, получена двусторонняя поточечная оценка для функции Лебега
$L_{n,N}^{\alpha,\beta}(x)$ рассматриваемых дискретных сумм Фурье при
$n=O\big(\delta_N^{-1/(\lambda+3)}\big)$,
$\lambda=\max\{\alpha, \beta\}$,
$\delta_N=\max_{0\leq{j}\leq{N-1}}\Delta{t_j}$. Соответственно, исследован также вопрос сходимости
$S_{n,N}^{\alpha,\beta}(f,x)$ к
$f(x)$.
В частности, получена оценка отклонения частичной суммы
$S_{n,N}^{\alpha,\beta}(f,x)$ от
$f(x)$ при
$n=O\big(\delta_N^{-1/(\lambda+3)}\big),$ которая также зависит от
$n$ и положения точки
$x\in[-1, 1].$
Ключевые слова:
многочлен, ортогональная система, сетка, вес, асимптотическая формула, суммы Фурье, функция Лебега.
УДК:
517.98
MSC: 42C10 Поступила в редакцию: 23.12.2019
DOI:
10.46698/k4355-6603-4655-y