A Bernstein–Nikol'skii inequality for weighted Lebesgue spaces
[Неравенство Бернштейна–Никольского в весовых пространствах Лебега]
H. H. Banga,
V. N. Huybc a Vietnamese Academy of Science and Technology, 18 Hoang Quoc Viet St., Cay Giay, Hanoi, Vietnam
b Hanoi University of Science, 334 Nguyen Trai St., Thanh Xuan, Hanoi, Vietnam
c TIMAS, Thang Long University, Nghiem Xuan Yem, Hoang Mai, Hanoi, Vietnam
Аннотация:
В работе устанавливаются результаты, касающиеся неравенства Бернштейна–Никольского в весовых пространствах Лебега. Основной результат содержится в следующем утверждении. Пусть
$1 < u, p < \infty$,
$0<q+ 1/p<v +1/u<1,$ $v-q\geq 0$,
$\kappa >0$,
$f \in L^u_v(\mathbb R)$ и $\mathrm{supp}\,\widehat{f} \subset [-\kappa, \kappa]$. Тогда
$D^mf \in L^p_q(\mathbb R)$, $\mathrm{supp}\,\widehat{D^m f}=\mathrm{supp}\,\widehat{f}$ и существует такая постоянная
$C$, независящая от
$f$,
$m$ и
$\kappa$, что $ \|D^mf\|_{L^p_{q}} \leq C m^{-\varrho} \kappa^{m+\varrho} \|f\|_{ L^u_v}$ для всех
$m = 1,2,\dots $, где
$\varrho=v + \frac{1}{u} -\frac{1}{p} - q>0$ и весовое пространство Лебега
$L^p_q$ состоит из всех измеримых функций, для которых $\|f\|_{L^p_q} = \Big(\int_{\mathbb R} |f(x)|^p |x|^{pq} dx\Big)^{1/p}< \infty.$ Более того, $ \lim_{m\to \infty}\|D^mf\|_{L^p_{q}}^{1/m}= \sup \{|x|: x \in \mathrm{supp}\,\widehat{f}\}.$ Главным достижением нашего результата является то, что в правой части неравенства содержится множитель
$m^{-\varrho}$ (
$\varrho>0$), который ранее никогда не появлялся в аналогичных исследованиях других авторов. Соответствующий результат получен также для
$n$-мерного случая.
Ключевые слова:
весовые пространства Лебега, неравенство Бернштейна, неравенство Никольского.
УДК:
517.518
MSC: 26D10,
46E30 Поступила в редакцию: 05.05.2020
Язык публикации: английский
DOI:
10.46698/h8083-6917-3687-w