Критерий квазианалитичности типа Салинаса–Коренблюма для выпуклых областей

Как известно, проблема квазианалитичности класса $C_{I}(M_n)$ для отрезка $I$ решается теоремой Данжуа-Карлемана. Как следует из хорошо известного примера Д. Е. Меньшова, не только эта теорема, но и сама постановка задачи квазианалитичности класса $C_{K}(M_n)$ не распространяется на случай произвольного континуума $K$ комплексной плоскости. Рядом авторов проблема квазианалитичности изучалась для жордановых областей и спрямляемых (в частности, квазигладких) дуг. В настоящей статье обсуждаются теоремы типа Данжуа-Карлемана в выпуклых областях комплексной плоскости, а именно связь между критериями квазианалитичности Р. С. Юлмухаметова класса Карлемана $H(D,M_n)$ для произвольной выпуклой области $D$ и Р. Салинаса класса $H(\Delta_{\alpha},M_n)$ для угла $\Delta_{\alpha}=\{z: |\arg z|\leq \frac{\pi}{2}\alpha,\ 0<\alpha\leq1\}$. Проблема квазианалитичности класса $H(D,M_n)$ заключается в следующем: найти необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять последовательность $\{M_n\}$ и точка $z_0\in\partial D$ для того, чтобы класс $H(D,M_n)$ был квазианалитическим в данной точке. В терминах специального интегрального условия, характеризующего степень близости границ области $D$ и угла $\Delta_{\alpha}$ в окрестности начала координат получен ответ на вопрос об одновременной квазианалитичности или неквазианалитичности этих классов Карлемана в точке $z=0$. Приводятся геометрическая интерпретация данного интегрального условия и конкретные примеры, показывающие существенность этого условия.