RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Владикавказский математический журнал // Архив

Владикавк. матем. журн., 2021, том 23, номер 1, страницы 43–59 (Mi vmj754)

О мультипликативных многомерных дифференциальных уравнениях в частных производных

И. В. Рахмелевич

Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского, РОССИЯ, 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23

Аннотация: Рассмотрен класс мультипликативных дифференциальных уравнений в частных производных. Левая часть уравнения представлена в виде произведения линейных дифференциальных выражений произвольного порядка, а правая часть является функцией независимых переменных и искомой функции. Для уравнения с одномерными линейными дифференциальными операторами и факторизуемой правой частью получены решения с аддитивным, мультипликативным и комбинированным разделением переменных. При этом исходное уравнение редуцировано либо к обыкновенному дифференциальному уравнению, либо к уравнению в частных производных меньшей размерности. Показано, что если операторы в левой части уравнения являются однородными, то уравнение имеет решения в виде обобщенных полиномов. Также для уравнения с однородными операторами найдены автомодельные решения и сформулированы достаточные условия их существования. Получены решения типа бегущей волны для случая операторов с постоянными коэффициентами и правой части, зависящей от линейной комбинации независимых переменных. Показано, что если правая часть уравнения зависит от нескольких линейных комбинаций на подмножествах независимых переменных, то имеются решения типа многомерных бегущих волн, зависящие от этих линейных комбинаций. Получено решение в виде разложения по собственным функциям ядер линейных операторов, входящих в состав левой части уравнения. Также исследованы некоторые уравнения с многомерными линейными операторами. В частности, получены решения с разделением переменных для случая факторизуемых многомерных операторов, а также решения типа многомерных бегущих волн и решения в виде функций от аргументов более сложной структуры. Рассмотрены случаи, когда правая часть уравнения содержит степенные и экспоненциальные нелинейности по искомой функции.

Ключевые слова: мультипликативное дифференциальное уравнение, линейный дифференциальный оператор, разделение переменных, решение типа бегущей волны, автомодельное решение.

УДК: 517.952

MSC: 35G20

Поступила в редакцию: 26.10.2020

DOI: 10.46698/u4295-5273-0507-x



Реферативные базы данных:


© МИАН, 2024