A note on semiderivations in prime rings and $\mathscr{C}*$-algebras

 Пусть $\mathscr{R}$ — первичное кольцо с расширенным центроидом $\mathscr{C}$ и с фактор-кольцо Матриндейла $\mathscr{Q}$. Аддитивное отображение $\mathscr{F}:\mathscr{R}\rightarrow \mathscr{R}$ называют полупроизводной, ассоциированной с $\mathscr{G}: \mathscr{R}\rightarrow \mathscr{R}$, если $\mathscr{F}(xy)=\mathscr{F}(x)\mathscr{G}(y)+x\mathscr{F}(y)= \mathscr{F}(x)y+\mathscr{G}(x)\mathscr{F}(y)$ и $\mathscr{F}(\mathscr{G}(x))=\mathscr{G}(\mathscr{F}(x))$ для всех $x,y\in \mathscr{R}$. В этой работе мы исследуем и описываем строение первичных колец $\mathscr{R}$, удовлетворяющих условию $\mathscr{F}(x^m\circ y^n)\in \mathscr{Z(R)}$ для всех $x, y \in \mathscr{R}$, где $m,n\in\mathbb{Z}^+$ и $\mathscr{F}:\mathscr{R}\rightarrow\mathscr{R}$ — полупроизоводная с автоморфизмом $\xi$ кольца $\mathscr{R}$. Далее, в качестве приложения нашего теоретико-кольцевого результата мы обсуждаем природу $\mathscr{C}^*$-алгебр. Точнее, для любой примитивной $\mathscr{C}^\ast$-алгебры $\mathscr{A}$. Точнее, для любой примитивной $\mathscr{C}^\ast$-алгебры $\mathscr{A}$ получаем следующее. Если антиизоморфизм $\zeta:\mathscr{A}\to\mathscr{A}$ удовлетворяет соотношению $(x^n)^\zeta+x^{n*}\in\mathscr{Z}(\mathscr{A})$ для всех ${x,y}\in \mathscr{A},$ то $\mathscr{A}$ служит $\mathscr{C}^{*}-\mathscr{W}_{4}$-алгеброй, т. е., $\mathscr{A}$ удовлетворяет стандартному тождеству $\mathscr{W}_4(a_1,a_2,a_3,a_4)=0$ for all $a_1,a_2,a_3,a_4\in\mathscr{A}$.