Titchmarsh–Weyl theory of the singular Hahn–Sturm–Liouville equation

В этой работе рассматривается сингулярное разностное уравнение Хана — Штурма — Лиувилля, определяемый уравнением $-q^{-1}D_{-\omega q^{-1},q^{-1}}D_{\omega ,q}y( x)+v(x)y(x) =\lambda y(x)$, $x\in(\omega _{0},\infty),$ где $\lambda$ — комплексный параметр, $v$ — вещественнозначная функция, определенная на $[\omega _{0},\infty)$ и непрерывная в точке $\omega _{0}$. Такого вида уравнения возникают, когда обычную производную в классической задаче Штурма — Лиувилля заменяется на $(\omega,q)$-Хан разностным оператором $D_{\omega,q}$. Развивается $(\omega, q)$-аналог классической теории Титчмарша — Вейля для таких уравнений. Другими словами, изучается существование квадратично интегрируемое решение сингулярного уравнения Хана — Штурма — Лиувилля. Сначала определяется подходящее гильбертово пространство в терминах интеграла Джексона — Нёрлунда. Затем изучаются семейства регулярных задач Хана — Штурма — Лиувилля на $[\omega_{0},q^{-n}]$, $n\in\mathbb{N}$. Далее, определяется семейство окружностей, сходящейся либо к точке, либо к кругу. Тем самым, в исчислении Хана возникают случаи предельной точки или предельной окружности, используя технику Титчмарша.