A pointwise condition for the absolute continuity of a function of one variable and its applications

Абсолютно непрерывная функция в математическом анализе это в точности такая функция, которая в рамках интегрирования по Лебегу может быть восстановлена по своей производной, то есть для нее выполнена теорема Ньютона — Лейбница о связи между интегрированием и дифференцированием. Эквивалентное определение состоит в том, что сумма модулей приращений функции по произвольному дизьюнктному набору интервалов меньше любого положительного числа, если сумма длин интервалов достаточно мала. Известны некоторые достаточные условия абсолютной непрерывности, например теорема Банаха — Зарецкого. В этой статье мы доказываем новое достаточное условие абсолютной непрерывности функции одной переменной и приводим некоторые его применения к задачам теории функциональных пространств. Доказанное условие дает возможность значительно упростить доказательство теорем о поточечном описании функций классов Соболева, определенных на евклидовых пространствах и группах Карно.