A note on periodic rings

В терминах нильпотентных элементов получена новая нетривиальная характеризация периодических колец. (Так называют кольца $R$, в которых для любого элемента $x\in R$ существуют два различных целых числа $m$ и $n$, строго большие чем $1$, такие, что $x^m=x^n$.) Этот результат содержит в себе результат Цуй — Данчева на эту тему, опубликованный в J. Algebra & Appl., 2020, и результат Абызова — Тапкина, опубликованный в J. Algebra & Appl., 2022. Точнее говоря, установлен такой неожиданный факт: произвольное кольцо $R$ будет периодическим в том и только в том случае, когда для любого элемента $x$ из $R$, существуют целые числа $m>1$ и $n>1$, $m\ne n$, такие, что разность $x^m-x^n$ — нильпотентный элемент.