Existence and uniqueness theorems for a differential equation with a discontinuous right-hand side

Рассмотрены новые условия существования и единственности решения Каратеодори задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка с разрывной правой частью. Применяемый в статье метод основан на: 1) представлении решения в виде ряда Фурье по системе функций, ортогональной относительно скалярного произведения типа Соболева и порожденной классической ортогональной системой; 2) использовании специальный образом сконструированного оператора $A$, действующего в пространстве $l_2$, неподвижной точкой которого являются коэффициенты Фурье решения. При выполнении условий, рассматриваемых в данной статье, оператор $A$ будет сжимающим. Это свойство может быть использовано для конструирования устойчивых, быстрых и легко реализуемых спектральных численных методов решения задачи Коши с разрывной правой частью. Изучена также взаимосвязь новых условий с хорошо известными классическими условиями (условия Каратеодори вместе с условием Липшица) существования и единственности решения Каратеодори задачи Коши с разрывной правой частью. А именно, показано, что если в классических условиях заменить пространство суммируемых функций $L^1$ на пространство суммируемых с квадратом функций $L^2$, то они станут эквивалентными условиям, приведенным в данной статье.