Периодические и ограниченные решения нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка

В работе исследуются вопросы о существовании периодических или ограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка вида $y''+g(y,y')=f(t,y,y').$ Здесь функция $g (y,z)$ — непрерывная и положительно однородная первого порядка, а $f(t,y,z)$ — непрерывная функция, определенная при всех значениях $t$, $y$, $z$ и удовлетворяющая условию малости по отношению $|y|+|z|$ на бесконечности. Для данного уравнения вопросы существования априорной оценки, периодических решений в случае периодической по $t$ функции $f(t,y,z)$, и ограниченных решений в случае лишь ограниченности по $t$ функции $f(t,y,z)$, тесно связаны с качественным поведением решения однородного уравнения $y''+g(y,y')=0.$ Поэтому, на первом этапе представляется важным исследование характера поведения траектории эквивалентной однородному уравнению системы. Перейдя к полярным координатам, получим формулы представления решения системы, которые позволяют описать полную классификацию всевозможных фазовых портретов решения системы в терминах свойства функции $g(y,y')$. В частности, получены условия отсутствия ненулевых периодических или ограниченных на всей оси решений. Задача существования периодических решений исходного уравнения эквивалентна существованию решений интегрального уравнения в пространстве $C[0,T]$-непрерывных на отрезке $[0,T]$ функций. В свою очередь, интегральное уравнение порождает вполне непрерывное векторное поле в пространстве $C[0,T]$, нули которого определяют решение интегрального уравнения. Получены формулы для вычисления вращения векторного поля на сферах достаточно большого радиуса пространства $C[0,T]$. На основе полученных результатов найдены условия существования периодических и ограниченных решений неоднородного уравнения. Отметим, что полученные результаты доведены до расчетных формул.