On a new combination of orthogonal polynomials sequences

В настоящая статья посвящена следующей обратной задаче. Для последовательность полиномов от одной переменной $\{P_{n}\} _{n\geq 0}$, ортогональных относительно квазиопределенного линейного функционала $u$, выяснить условия существования последовательности ортогональных полиномов $\{ Q_{n}\}_{n\geq 0}$, для которых имеет место разложение $Q_{n}(x)+r_{n}Q_{n-1}(x)=P_{n}(x)+s_{n}P_{n-1}(x)+t_{n}P_{n-2}(x)+v_{n}P_{n-3}( x)$, $n\geq 0$, где $v_{n}r_{n}\neq 0,$ для всех $n\geq 4$. Показано, что ортогональность последовательности $\{Q_{n}\}_{n\geq 0}$ характеризуется существованием последовательностей, зависящих от параметров $r_{n}$, $s_{n}$, $t_{n}$, $v_{n}$ и постоянных рекуррентных коэффициентов. Кроме того, установлено, что соотношение между соответствующими линейными функционалами имеет вид $k( x-c) u=( x^{3}+ax^{2}+bx+d) v$, где $c, a, b, d\in \mathbb{C}$ and $k\in \mathbb{C}\setminus \{0\}$. Рассмотрены также подклассы для которых параметры $r_{n},$ $s_{n},$ $t_{n}$ и $v_{n}$ легко вычисляются. В конце приводятся иллюстрирующие примеры.