О спектральных свойствах самосопряженных частично интегральных операторов с невырожденными ядрами

В данной работе рассматриваются линейные ограниченные самосопряженные интегральные операторы $T_1$ и $T_2$ в гильбертовом пространстве $L_2([a,b]\times[c,d])$, так называемые частично интегральные операторы. Частично интегральный оператор $T_1$ действует на функцию $f(x,y)$ по первому аргументу и выполняет определенное интегрирование по аргументу $x$, а частично интегральный оператор $T_2$ действует на функцию $f(x,y)$ по второму аргументу и выполняет определенное интегрирование по аргументу $y$. Оба оператора является ограниченными, однако оба не являются компактными операторами. Однако оператор $T_1T_2$ является компактным и $T_1T_2=T_2T_1$. Частично интегральные операторы возникают в различных областях механики, теории интегро-дифференциальных уравнений и теории операторов Шредингера. В работе исследованы спектральные свойства линейных ограниченных самосопряженных частично интегральных операторов $T_1$, $T_2$ и $T_1+T_2$ с невырожденными ядрами. Получена формула для описания существенных спектров частично интегральных операторов $T_1$ и $T_2$. Показано, что дискретный спектр у операторов $T_1$ и $T_2$ отсутствует. Доказана теорема о структуре существенного спектра частично интегрального оператора $T_1+T_2$. Изучена задача о существовании счетного числа собственных значений в дискретном спектре частично интегрального оператора $T_1+T_2$.