Эта публикация цитируется в
1 статье
Область диффузионной неустойчивости для систем параболических уравнений
С. В. Ревинаab a Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича ЮФУ, Россия, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а
b Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, Россия, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22
Аннотация:
Рассматривается система двух уравнений реакции-диффузии в ограниченной области
$m$-мерного пространства с краевыми условиями Неймана на границе, для которой слагаемые реакции
$f(u,v)$ и
$g(u,v)$ зависят от двух параметров
$a$ и
$b$. Предполагается, что система имеет пространственно-однородное решение
$(u_0,v_0)$, причем
$f_u(u_0,v_0)>0$, а
$-g_v(u_0,v_0)=F( \mathrm{Det (\mathrm{J})})$, где
$\mathrm{J}$ — матрица Якоби соответствующей линеаризованной системы в бездиффузионном приближении,
$F$ — гладкая монотонно возрастающая функция. Предложен способ аналитического описания области необходимых и достаточных условий неустойчивости Тьюринга на плоскости параметров системы при фиксированном коэффициенте диффузии
$d$. Показано, что область необходимых условий неустойчивости Тьюринга на плоскости
$( \mathrm{Det (\mathrm{J})}, f_u)$ ограничена кривой нулевого следа, дискриминантной кривой и геометрическим местом точек
$ \mathrm{Det (\mathrm{J})}=0$. Найдены явные выражения кривых достаточных условий и доказано, что дискриминантная кривая является огибающей семейства этих кривых. Показано, что одна из границ области неустойчивости Тьюринга состоит из фрагментов кривых достаточных условий, выражается через функцию
$F$ и собственные значения оператора Лапласа в рассматриваемой области. Найдены точки пересечения кривых достаточных условий и показано, что их абсциссы не зависят от вида функции
$F$ и выражаются через коэффициент диффузии и собственные значения оператора Лапласа. Рассмотрен частный случай $F( \mathrm{Det (\mathrm{J})})= \mathrm{Det (\mathrm{J})}$. Для этого случая указан диапазон волновых чисел, при которых возникает неустойчивость Тьюринга. Получено разбиение полуоси
$d>1$ на полуинтервалы, каждому из которых соответствует свое минимальное критическое волновое число. Точки пересечения кривых достаточных условий лежат на прямых, не зависящих от коэффициента диффузии
$d$. В качестве примеров приложений доказанных утверждений рассматриваются система Шнакенберга и уравнения брюсселятора.
Ключевые слова:
системы реакции-диффузии, система Шнакенберга, область неустойчивости Тьюринга, критическое волновое число.
УДК:
517.957
MSC: 35K57 Поступила в редакцию: 31.10.2021
DOI:
10.46698/d6373-9335-7338-n