Large time decay estimates of the solution to the Cauchy problem of doubly degenerate parabolic equations with damping

В этой статье мы изучаем поведение решения при неограниченном возрастании времени и компактификацию носителя задачи Коши для дважды вырождающихся параболических уравнений с сильным градиентным демпфированием. При соответствующих предположениях на структуру уравнения и данные задачи устанавливается новая точная оценка решений при неограниченном возрастании времени. Более того, когда носитель начальных данных компактен, мы доказываем, что носитель решения содержится в шаре с радиусом, не зависящим от времени. При критическом поведении члена c демпфированием носитель решения зависят от времени логарифмически при достаточно больших значениях времени. Основной инструмент доказательства основан на нетривиальных цилиндрических вложениях типа Гальярдо — Ниренберга и итерационных неравенствах. Равномерные оценки решения доказываются модифицированным вариантом классического метода Де-Джорджи — Ладыженской — Уральцевой — ДиБенедетто. Подход статьи достаточно гибкий и может быть использован при дальнейшем изучении задач Коши-Дирихле и Коши — Неймана в областях с некомпактными границами.