Existence of classical solutions for a class of the Khokhlov–Zabolotskaya–Kuznetsov type equations

В медицинских науках, во время медицинского исследования и диагностики тканей или при медицинской визуализации, мы часто используем математические модели для ответа на вопросы, связанные с этими исследованиями. Среди этих моделей значительный интерес представляет нелинейное уравнение в частных производных типа Хохлова — Заболоцкой — Кузнецова (сокращенно — уравнение ХЗК) в задачах ультразвуковой акустики. Эта математическая модель описывает нелинейное распространение звукового импульса конечной амплитуды в термовязкой среде. Уравнение получается путем объединения уравнения сохранения массы, уравнения сохранения импульса и уравнений состояния. Следует отметить, что для этого уравнения мало математического анализа. Это уравнение учитывает три комбинированных эффекта: дифракцию волны, поглощение энергии и нелинейность среды, в которой распространяется волна. Уравнение типа ХЗК, представленное в данной работе, представляет собой модифицированную версию модели ХЗК, известной в акустике. Изучается класс уравнений типа Хохлова — Заболоцкой — Кузнецова на предмет существования глобальных классических решений. Приведены условия, при которых рассматриваемые уравнения имеют хотя бы одно или хотя бы два классических решения. Для доказательства основных результатов мы предлагаем новый подход, основанный на недавних теоретических результатах.