Обращение оператора свертки, ассоциированного со сферическими средними

Очевидным свойством произвольной ненулевой гладкой антипериодической функции является отсутствие соответствующего периода у ее производной. Другими словами, если $r$ — фиксированное положительное число и на вещественной оси $f(x+r)+f(x-r)=0$ и $f'(x+r)-f'(x-r)=0$, то $f=0$. Этот факт допускает нетривиальные обобщения на многомерные пространства. Одним из общих методов для таких обобщений является следующая теорема Брауна — Шрейбера — Тейлора о спектральном анализе: любое ненулевое подпространство $\mathcal{U}$ в $C(\mathbb{R}^n)$, инвариантное относительно всех движений $\mathbb{R}^n$, содержит радиальную функцию вида $(\lambda|x|)^{1-\frac{n}{2}}J_{\frac{n}{2}-1}(\lambda|x|)$, где $\lambda$ — некоторое комплексное число, $J_\nu$ — функция Бесселя первого рода порядка $\nu$. В частности, если функция $f\in C^1(\mathbb{R}^n)$ и ее нормальная производная имеют нулевые интегралы по всем сферам фиксированного радиуса $r$ в $\mathbb{R}^n$, то $f=0$. В терминах сверток это означает инъективность оператора $\mathcal{P}f =(f\ast \Delta \chi_r, f\ast \sigma_r)$, $f\in C(\mathbb{R}^n)$, где $\Delta$ — оператор Лапласа, $\chi_{r}$ — индикатор шара $B_r=\{x\in\mathbb{R}^n: |x|<r\}$, $\sigma_{r}$ — поверхностная дельта-функция, сосредоточенная на сфере $S_r= \{x\in\mathbb{R}^n: |x|=r\}$. В данной работе изучается задача об обращении оператора $\mathcal{P}$ на классе распределений. Получена новая формула восстановления распределения $f\in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ по известным сверткам $f\ast \Delta \chi_r$ и $f\ast \sigma_r$. В работе используются методы гармонического анализа, а также теории целых и специальных функций. Ключевым шагом в доказательстве основного результата является разложение дельта-функции Дирака по системе радиальных распределений с носителями в $\overline{B}_r$, биортогональной к некоторой системе сферических функций. Подобный подход можно использовать для обращения других операторов свертки с радиальными распределениями из $\mathcal{E}'(\mathbb{R}^n)$.