Операторы весовой композиции на квазибанаховых весовых пространствах последовательностей

В работе рассматриваются основные топологические свойства операторов весовой композиции на весовых пространствах последовательностей $l^p(\text{w})$, $0<p<\infty,$ где $\text{w}$ — весовая последовательность положительных чисел: ограниченность, компактность, компактность разностей операторов, формулы для их существенных норм, а также описание тех из них, чей образ является замкнутым. Ранее данные свойства изучались Д. М. Луаном и Л. Х. Хоем для случая гильбертова пространства $(p=2)$. Предложенные ими методы с небольшими модификациями могут быть применены для случая банаховых пространств $l^p(w)$, $p>1$. Они существенно опираются на использование сопряженных пространств линейных непрерывных функционалов и, следовательно, не подходят для изучения квазибанахова случая ($0<p<1$). Более того, некоторые из них не подходят даже для банахова пространства $l^1(\text{w})$. В соответствии с изложенными выше причинами нами разработан более универсальный подход, позволяющий исследовать всю шкалу пространств $\{ l^p(\text{w}): p>0 \}$. С этой целью установлены необходимые и достаточные условия компактности линейного оператора на абстрактном квазибанаховом пространстве последовательностей, являющиеся новыми также для случая банаховых пространств. Более того, введена в рассмотрение новая характеристика — $\omega$-существенная норма линейного непрерывного оператора $L$ на квазибанаховом пространстве $X$. Она является расстоянием по операторной квазинорме между $L$ и множеством всех $\omega$-компактных операторов на $X$. При этом оператор $K$ назван $\omega$-компактным на $X$, если он компактен и покоординатно непрерывен на $X$. В связи с этим показано, что для $l^p(\text{w})$ ($p>1$) существенная и $\omega$-существенная нормы оператора весовой композиции совпадают. При $0 < p \le 1$ справедливость этого утверждения не установлена. Главными результатами данной работы для операторов весовой композиции на $l^p(\text{w})$ ($0<p<\infty$) являются: критерии ограниченности, компактности и замкнутости образа; полное описание пар операторов, разность которых компактна; точная формула для $\omega$-существенной нормы. Некоторые ключевые моменты разработанного подхода могут быть использованы для других операторов и шкал пространств.