Периодические траектории нелинейных моделей кольцевых генных сетей

Статья посвящена качественному анализу двух динамических систем, моделирующих функционирование кольцевых генных сетей. Уравнения трехмерной динамической системы содержат монотонно убывающие гладкие функции, описывающие отрицательные связи. Шестимерная динамическая система состоит из трех уравнений с монотонно убывающими гладкими функциями и из трех уравнений с монотонно возрастающими гладкими функциями, характеризующими отрицательные и положительные связи. В обеих моделях процесс деградации описан нелинейными гладкими функциями. С целью локализации циклов для обеих систем построены инвариантные области. В данной работе показано, что каждая из двух систем имеет единственную стационарную точку в инвариантной области, и найдены условия, при которых эта точка является гиперболической. Основной результат настоящей работы — доказательство существования цикла в инвариантной подобласти, из которой траектории не могут перейти в другие подобласти, полученные при дискретизации фазового портрета. Циклы трехмерной и шестимерной систем ограничивают двумерные инвариантные поверхности, на которых лежат траектории данных динамических систем.