Hardy type inequalities in classical and grand Lebesgue spaces $L_{p)}$, $0<p\leqslant 1$, for quasi-monotone functions

В 2020 г. Ровшан А. Бандалиев и др. доказал ограниченность оператора Харди для монотонных функций в гранд-пространствах Лебега $L_{p)}(0,1)$, $0<p\leqslant 1$. В частности, они установили аналогичные результаты для оператора Харди в классических весовых лебеговых пространствах. Более того, доказано, что гранд-пространство Лебега $L_{p)}(0,1)$ является квазибанаховым функциональным пространством. В данной работе нас интересуют неравенства Харди, применяемые к квазимонотонным функциям в классических пространствах Лебега и гранд-пространствах Лебега. Установлена ограниченность оператора Харди для квазимонотонных функций в гранд-пространствах Лебега $L_{p)}$, $w(0,1)$, $0<p\leqslant 1$. Кроме того, некоторые интегральные неравенства для оператора Харди доказаны в классических весовых пространствах Лебега $L_{p,w}(0,1)$, $0<p<1$, для квазимонотонных функций. Все неравенства доказываются с точными константами. Некоторые результаты Ровшана А. Бандалиева и др. выводятся как частные случаи. Получены и другие оценки в классических пространствах Лебега для оператора Харди и двойственного к нему оператора.