Inverse coefficient problem for the 2D wave equation with initial and nonlocal boundary conditions

В данной работе рассматриваются прямая и обратная задачи для двумерного волнового уравнения. Прямая задача представляет собой начально-краевую задачу для этого уравнения с нелокальными граничными условиями. В обратной задаче требуется найти переменный во времени коэффициент при младшем члене уравнения. Классическое решение прямой задачи представлено в виде биортогонального ряда по собственным значениям и присоединенным функциям, доказаны единственность и устойчивость этого решения. Для решения обратной задачи получены теоремы существования в локальном, единственности в глобальном и оценка условной устойчивости. Задачи определения правых частей и переменных коэффициентов при младших членах из начально-краевых задач для линейных уравнений в частных производных второго порядка с локальными граничными условиями изучались многими авторами. Поскольку нелинейность является сверхточной, то теоремы об однозначной разрешимости в них доказываются в глобальном смысле. В некоторых работах метод разделения переменных используется для нахождения классического решения прямой задачи в виде биортогонального ряда по собственным функциям и присоединенным функциям. В качестве условия переопределения по отношению к решению прямой задачи используется нелокальное интегральное условие. Прямая задача сводится к эквивалентным интегральным уравнениям метода Фурье. Для установления интегральных неравенств используются обобщенные неравенства типа Гронуолла — Беллмана. Мы получаем априорную оценку решения через неизвестный коэффициент, который нам используется для изучения обратной задачи.