Решение с повышенной точностью бигармонического уравнения в нерегулярных областях методом коллокации и наименьших квадратов

Предложен и реализован новый вариант метода коллокации и наименьших квадратов (КНК) повышенной точности для численного решения неоднородного бигармонического уравнения. Дифференциальная задача методом КНК проектируется в пространство полиномов четвертой и восьмой степеней. Реализованный алгоритм применяется в нерегулярных областях, границы которых заданы аналитическими кривыми, в частности сплайнами. Исходная нерегулярная область включается в прямоугольник, который покрывается регулярной сеткой с прямоугольными ячейками. На границе области используется “одинарный” слой нерегулярных ячеек (н-ячеек), отсеченных границей от прямоугольных граничных ячеек начальной регулярной сетки. Все н-ячейки разбиваются на два класса: самостоятельные, в которых находится центр содержащих их граничных ячеек, и несамостоятельные, центр содержащих их граничных ячеек которых расположен вне области. Вытянутые несамостоятельные граничные н-ячейки присоединяются к соседним самостоятельным ячейкам, и в объединенных ячейках строится свой отдельный кусок аналитического решения. При этом в граничных ячейках, которые пересекла граница, для аппроксимации дифференциальных уравнений использованы “законтурные” (расположенные вне расчетной области) точки коллокации и точки согласования решения задачи. Эти два приема позволили существенно уменьшить обусловленность системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) приближенной задачи по сравнению со случаем, когда несамостоятельные н-ячейки использовались как самостоятельные для построения приближенного решения задачи и не была использована “законтурная” часть граничных ячеек. В численных экспериментах по сходимости приближенного решения различных задач на последовательности сеток установлено, что решение сходится с повышенным порядком и с высокой точностью совпадает с аналитическим решением задачи в случае, когда решение известно. Приведено сравнение полученных результатов с известными результатами других авторов, которые использовали конечно-разностный метод (FDM, Finite Difference Method) повышенного порядка аппроксимации. В качестве приложения решение неоднородного бигармонического уравнения использовано для моделирования напряженно-деформированного состояния (НДС) изотропных тонких пластин нерегулярных форм.