Равенство Парсеваля для кратных рядов Фурье–Стилтьеса по системе Хаара

Пусть функция $f:\Pi^{*^m} \to \mathbb C$ интегрируема в смысле Лебега на $\Pi^{*^m}$ и интегрируема в смысле Римана–Стилтьеса по функции $G:\Pi^{*^m}\to \mathbb{C}$ на $\Pi^{*^m}$. Тогда выполняется равенство Парсеваля
$$ (R-S)\idotsint\limits_{\Pi^{*^m}} f(\mathbf{x})\,\mathbf{d}\overline{G(\mathbf{x})}=\sum_{\mathbf{k}\in\mathbb{Z}_+^n}\widehat{f}(\mathbf{k})\overline{\widehat{\mathbf{d}G}(\mathbf{k})}, $$
где $\widehat{f}(\mathbf{k})=(f,\chi_{\mathbf{k}})=(L)\idotsint\limits_{\Pi^{*^m}} f(\mathbf{x})\chi_{\mathbf{k}}(\mathbf{x})\,\mathbf{dx}$ и $\widehat{\mathbf{d}G}(\mathbf{k})=\idotsint\limits_{\Pi^{*^m}}\chi_{\mathbf{k}}(\mathbf{x})\,{\mathbf{d}G(\mathbf{x})} $ – соответственно коэффициенты Фурье функции $f$ и коэффициенты Фурье–Стилтьеса функции $G$ по системе Хаара, интеграл в равенстве и в определении коэффициентов функции $G$ является интегралом Римана–Стилтьеса, ряд в правой части равенства сходится в смысле суммирования по прямоугольникам, а черта сверху означает комплексное сопряжение.
А если $f:\Pi^m\to\mathbb C$ – комплекснозначная интегрируемая по Лебегу функция, $G$ – комплекснозначная функция ограниченной вариации на $\Pi^m $,
$$ \widehat{f_\mathbf{x}}(\mathbf{k}) =(L)\idotsint\limits_{\Pi^m} f(\mathbf{x}\oplus\mathbf{t})\chi_{\mathbf{k}}(\mathbf{t})\,\mathbf{d}t $$
 – коэффициенты Фурье–Лебега функции $f_{\mathbf{x}}(\mathbf{t})=f(\mathbf{x}\oplus\mathbf{t})$, где $\oplus$ – групповая операция сложения, то равенство Парсеваля
$$ (L-S)\idotsint\limits_{\Pi^m}f(\mathbf{x}\oplus\mathbf{t})\,\mathbf{d}\overline{G(\mathbf{t})}=\sum_{\mathbf{k}\in\mathbb{Z}^m}\widehat{f_\mathbf{x}}(\mathbf{k})\overline{\widehat{\mathbf{d}G}(\mathbf{k})}, $$
имеет место для почти всех $\bf x\in \Pi^{*^m}$ в смысле суммируемости ряда любым методом, суммирующим ряды Фурье интегрируемых по Лебегу функций к этим функциям почти всюду; интеграл понимается в смысле Лебега–Стилтьеса.
Библиогр. 6.