Изометричность отображений, сохраняющих периметр

Показано, что для того, чтобы отображение $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ было изометрией, достаточно, чтобы сохранялся периметр единичного $(n-1)$-мерного симплекса. Если отображение $\mathbb{R}^n$ ($n\ge3$) в себя сохраняет периметр данного остроугольного треугольника $T$, то оно является изометрией. Отображение $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, которое не увеличивает объем единичного $k$-мерного симплекса и не уменьшает объем единичного $l$-мерного симплекса $(1\le k<l\le n,n\ge2)$, является изометрией. Найдено новое условие, при котором заданное отображение множества лежащих в $\mathbb{R}^n$ прямых в себя порождено изометрическим отображением $\mathbb{R}^n$. Обсуждается задача описания $n$-мерных симплексов, все гиперграни которых конгруэнтны.
Библиогр. 26.