О равенстве Парсеваля для произведения функций

Получены результаты о равенстве Парсеваля в случае, когда наряду с функциями $f$ и $g$ интегрируемо по Лебегу (или в некотором другом смысле) и их произведение $fg$. Доказаны следующие теоремы.
Теорема. Для любых $2\pi$-периодических интегрируемых по Лебегу неотрицательных функций $f$ и $g$, произведение $fg$ которых неинтегрируемо по Лебегу, существуют такие $2\pi$-периодические интегрируемые по Лебегу неотрицательные функции $\varphi$ и $\psi$, $\varphi(x)\le f(x)$ и $\psi\le g(x)$, произведение которых $\varphi\psi$ равно нулю всюду, но ряд $\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\hat\varphi(k)\overline{\hat\psi(k)}$ не суммируется методом Абеля, а значит, всеми методами Чезаро и методом Римана $(\mathcal{R},2)$.
Теорема. Если $f$ и $g$ – такие $2\pi$-периодические комплекснозначные интегрируемые в смысле широкого интеграла Данжуа функции с почти всюду дифференцируемыми первообразными, что произведение $Mf\cdot g$ интегрируемо по Лебегу, где $Mf(x)=\sup\limits_{h\ne0}\biggl|\frac1{h}\int_x^{x+h}f(t)\,dt\biggr|=\sup\limits_{h\ne0}\biggl|\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\biggr|$ – неабсолютная максимальная функция Харди–Литлвуда функции $f$, то выполняется равенство Парсеваля для метода суммирования Римана
$$ \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(x)\overline{g(x)}\,dx=(\mathcal{R},2)\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\hat f(k)\overline{\hat g(k)}. $$

Библиогр. 10.