Равенство Парсеваля для рядов Фурье–Стилтьеса по системе Хаара

Доказано, что если $f(x)$ и $G(x)$ – комплекснозначные функции на модифицированном отрезке $[0,1]^*$, $f(x)$ интегрируема в смысле широкого интеграла Данжуа на $[0,1]^*$ и в смысле Римана–Стилтьеса по функции $\overline{G(x)}$ на $[0,1]^*$, то выполняется равенство Парсеваля $(R-S)\int_{[0,1]^*}f(x)\,\overline{dG(x)}=\sum_{k=1}^{+\infty}\hat f(k)\overline{\widehat{dG(k)}}$, где $\hat f(k)=(f,\chi_k)=(D)\int_{[0,1]^*}f(x)\chi_k(x)\,dx$ и $\widehat{dG(k)}=(R-S)\int_{[0,1]^*}\chi_k(x)\,dG(x)$ – соответственно коэффициенты Фурье–Данжуа функции $f(x)$ и коэффициенты Фурье–Стилтьеса функции $G(x)$ по системе Хаара, интеграл в равенстве является интегралом Римана–Стилтьеса, ряд в правой части равенства сходится. Для справедливости равенства Парсеваля на обычном отрезке $[0,1]$ следует добавить требование существования коэффициентов Фурье–Стилтьеса функции $G(x)$.
Библиогр. 5.