Максимумы рекуррентных случайных последовательностей

Рассматриваются случайные последовательности $\{X_n\}$, $n\ge0$, вида $X_n=a_nX_{n-1}+b_n$, где $\{a_n\}$ и $\{b_n\}$, $n\ge1$, – последовательности независимых неотрицательных случайных величин с распределениями $A$ и $B$ соответственно, $X_0\ge0$; $\mathbf{M}a_n<1,\mathbf{M}b_n<\infty,\mathbf{M}X_0<\infty$; $X_0$, $\{a_n\}$ и $\{b_n\}$ независимы в совокупности. Исследуется поведение максимумов $M_n=\max\{X_0,\dots,X_n\}$ при $n\to\infty$. При $\bar{B}(x)=\exp\{-cx+o(x)\}$, $c>0$, $x\to+\infty$, и $A(1-0)=1$ доказано, что $\mathbf{P}(M_n\le u_n)\to e^{-\tau}$, $n\to\infty$, где $u_n$ таковы, что $\Psi(u_n)\sim\tau/n$, $n\to\infty$, и $\Psi$ – стационарное предельное распределение $\{X_n\}$.
Библиогр. 6.