Максимумы рекуррентных случайных последовательностей. Случай тяжелых хвостов

Рассматриваются случайные последовательности $\{X_n\}$, $n\ge0$, вида $X_n=a_nX_{n-1}+b_n$, где $\{a_n\}$ и $\{b_n\}$, $n\ge1$, – последовательности независимых неотрицательных случайных величин с распределениями $A$ и $B$ соответственно, $X_0\ge0$; $\mathbf{M}a_n<1,\mathbf{M}b_n<\infty,\mathbf{M}X_0<\infty$; $X_0$, $\{a_n\}$ и $\{b_n\}$ независимы в совокупности. Исследуется поведение максимумов $M_n=\max\{X_0,\dots,X_n\}$ при $n\to\infty$. Доказано, что если $B$ – субэкспоненциально распределение, принадлежащее области притяжения какого-либо максимум-устойчивого невырожденного предельного закона, и $A(1-0)=1$, то $\mathbf{P}(M_n\le u_n)\to e^{-\tau}$, $n\to\infty$, где $u_n=u_n(\tau)$ таковы, что $\bar{B}(u_n)\sim\tau/n$, $n\to\infty$ для любого $\tau>0$. Проведено компьютерное моделирование сходимости для распределений Парето и Вейбулла. В качестве приложения получен результат для максимумов процессов дробового шума с субэкспоненциальным распределением амплитуд и функцией отклика, мажорируемой показательной.
Ил. 2. Библиогр. 12.