Качественный анализ задачи о брахистохроне с сухим трением и максимизация горизонтальной дальности

Рассмотрены задача о максимизации горизонтальной координаты точки, движущейся в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и сухого трения, и взаимосвязанная с ней задача о брахистохроне. Задача оптимального управления сведена к краевой задаче для системы двух нелинейных дифференциальных уравнений. Проведен качественный анализ траекторий этой системы, установлены их характерные свойства, проиллюстрированные численным решением краевой задачи. Показано, что при движении по оптимальной кривой нормальная составляющая реакции опоры должна быть положительна. Рассмотрен вопрос об оптимальности найденных экстремалей.