О граничном поведении решений обобщенного уравнения Коши–Римана

Пусть $A_n(G)$ – семейство всех решений $f(z=x+iy)$ обобщенного уравнения Коши–Римана $\delta^nf/\delta\overline{z}^n$ в области $G\subset\mathbf C$, ($n\leq1$), т.е. функций $f$, $n$-аналитических в $G$. Если $\Gamma=\delta G$ – аналитический контур, то уравнение $\Gamma$ можно записать в виде $\overline{z}=a_\Gamma(z)$, где функция $a_\Gamma$ голоморфна и однолистна в некоторой окрестности $\Omega$ кривой $\Gamma$, функции же $f\in A_n(G)$ – в виде $f=\sum_{m=1}^{n-1}f_m$, где $f_m(z)=(\overline{z}-a_\Gamma(z))^mh_m(z)$, а $h_m$ голоморфны в $G\cap\Omega$. Если $F\in L^p(G)$ ($1\leq p\leq\infty$), $\alpha>0$ и $\|F(\cdot)-F(z)\|_{L^p(D(z,r))} \leq C(f,G)r^\alpha$ для всех $D(z,r):=\{t:|t-z|<r\}\subset G$, то пишем $F\in\mathrm{Lip}(\alpha,p,G)$.
Теорема. Если $\delta G$ – дважды гладкий контур, $2<p\leq\infty$, $\dfrac1{2p}<\alpha\leq1+\dfrac2p$ и $\alpha\neq\dfrac1p,\dfrac2p$, $n\leq1$, $f\in A_n(G)$, то $f\in\mathrm{Lip}(\alpha,p,G)$ $\Leftrightarrow$ $\biggl| \dfrac{\delta f(z)}{\delta z}\biggr|+\biggl|\dfrac{\delta f(z)}{\delta z}\biggr|=O(p^{\alpha-1-2/p})$, где $p=p(z,\delta G)$ –расстояние от $z\in G$ до $\delta G$, $p\to0$.
При $n=1$ и $p=\infty$ это известная теорема Харди–Литтлвуда.
Теорема. Если $\delta G$ – простой аналитический контур, $\Omega$ – достаточно малая его окрестность, то при $f\in A_n(G)$ ($n\leq1$) и $1\leq p\leq\infty$, имеем
$$ f\in L^p(G)\Leftrightarrow f_m\in L^p(G\cap\Omega)\quad\forall m \Leftrightarrow p^mh_m\in L^p(G\cap\Omega)\quad\forall m. $$

Теорема. Если $G$ – область с ляпуновской границей, $f\in A_n(G$) ($n\leq1$), $p\leq1$, $r\leq0$, числа $k$ и $s$ – целые, $0\leq k\leq s\leq r$, $t\in G$, то
$$ C_1\|p^{r-s}(f-P_s)\|_{L^p(G)}\leq \|p^r\delta^s(f-P_s)/\delta\overline{z}^k\delta z^{s-k}\|_{L^p(G)}\leq C_2\|p^{r-s}(f-P_s)\|_{L^p(G)}, $$
где $C_j=C_j(g,p,r,s,t)>0$, $P_s(z,\overline{z})$ – тейлоровский полином для $f$ в точке $t$ по переменным $z$ и $\overline{z}$ порядка $\leq s-1$ по каждому переменному.
Доказываются и другие поточечные и интегральные соотношения.
Библиогр. 8.