Теоремы-близнецы, оценивающие мощность топологического пространства

Доказаны посредством одного рассуждения две близкие теоремы, порождающие большинство оценок на мощность регулярного пространства. Вот одна из них.
Теорема 1. Пусть $X$–$T_1$-пространство, каждая точка в $X$ является пересечением $\le2^{\aleph_0}$ открытых множеств и существует семейство $\mathscr L$ подпространств в $X$ со свойствами: (а) если $A\subset X$ и $|A|\le2^{\aleph_0}$, то найдется $M\in\mathscr L$, для которого $A\subset M$ и $|M|\le2^{\aleph_0}$, и (б) если $C$ – цепь в $\mathscr L$ и $|C|\le\aleph_1$ то число Линделёфа пространства $\cup C$ счетно. Тогда $|X|\le2^{\aleph_0}$.
Библиогр. 4.