Четыре теоремы о равномерных оценках осциллирующих интегралов

Получены точные по порядку равномерные оценки осциллирующих интегралов с мономиальной фазой. Этот результат близок к гипотезе В. И. Арнольда о равномерных оценках осциллирующих интегралов. Именно установлена равномерная по фазе и амплитуде оценка сверху модуля осциллирующего интеграла величиной порядка $\tau^{-1/k}\ln^{n-1}\tau$ для любого достаточно малого возмущения фазы — монома $x_1^{m_1}\ldots ~x_n^{m_n}, m_j\leq k, 1\leq k,$ — мономами $x_1^{s_1}\ldots ~x_n^{s_n}$, где $s_j\leq k, 1\leq j\leq n$, и для любой амплитуды $\varphi \in C_0^2(\mathbb{R}^n),n>0$. В случае $|m|<nk$ равномерная оценка при том же возмущении и той же амплитуде имеет величину порядка $\tau^{-1/k}\ln^{n-2}\tau$. В случае $k=1$ также получена равномерная оценка величиной порядка $\tau^{-1}\ln^{n-2}\tau$. В случае, когда амплитуда обращается в нуль в начале координат, получена оценка величиной порядка $\tau^{-1/k}\ln^{n-2}\tau$. Установлена равномерная оценка для полиномиальной фазы. Ранее была известна оценка осциллирующего интеграла величиной $(32)^n\tau^{-1/k}\ln^{n-1}(\tau+2)$ для амплитуды — характеристической функции куба — и такой же фазы.