Элементарная эквивалентность групп автоморфизмов редуцированных абелевых $p$-групп

Рассматриваются неограниченные редуцированные абелевы $p$-группы ($p\geq3$) $A_1$ и $A_2$. Доказывается, что если группы автоморфизмов $\operatorname{Aut}A_1$ и $\operatorname{Aut}A_2$ элементарно эквивалентны, то группы $A_1$ и $A_2$ эквивалентны в логике второго порядка, ограниченной финальным рангом базисных подгрупп групп $A_1$ и $A_2$.