Об узкой решетчатой $3$-упаковке и рыхлом решетчатом $3$-покрытии на плоскости

Теорема 1. Имеются только две решетки, на которых достигается значение $3$-узости $\mathscr R^{*}_3=\dfrac2{\sqrt{3}}$ и которые порождают $3$-упаковки кругов единичного радиуса. Первая $\Lambda_1$ имеет приведенный базис из векторов $\mathbf a_1=\biggl(\dfrac23;0\biggr)$, $\mathbf a_2=\biggl(\dfrac13;\sqrt{3}\biggr)$, а у второй $\Lambda_2$ базис имеет вид $\mathbf a_1=\biggl(\dfrac2{\sqrt3};0\biggr)$, $\mathbf a_2=\biggl(\dfrac1{\sqrt3};1\biggr)$.
Теорема 2. Существует единственная узкая $3$-упаковка кругов единичного радиуса, порождаемая решеткой $\Lambda_1$.
Теорема 3. Существует единственное рыхлое $3$-покрытие кругами радиуса $\dfrac2{\sqrt{3}}$, которое порождается решеткой $\Lambda_2$.
Библиогр. 5.