О существовании сжимающего отображения, сохраняющего граничные значения

Пусть в кубе $Q=(0,1)^n$ евклидова пространства задана конечная положительная мера $\mu$. Для одной из граней $S$ куба $Q$ в пространстве Соболева $W_p^m(Q)$, где $mp>n$, рассмотрим подпространство $Z$, состоящее из функций с нулевым полным следом на $\partial Q\setminus S$. Исследуется вопрос о существовании нелинейного оператора $T$, который ограничен в $Z$, сохраняет полный след функций на $S$ и является сжимающим в пространстве $L_{2,\mu}(Q)$. Приводится связь этого условия с теорией интерполяции банаховых пространств, индефинитными спектральными задачами и нелинейными дифференциальными уравнениями. Доказываются достаточные и необходимое условия существования $T$ в терминах $n$, $m$, $p$ и $\mu$. При $n=1$ получен критерий существования $T$ в терминах $\mu$. В доказательстве некоторых результатов используется полиномиальная аппроксимация функций с малой соболевской нормой.