О суммах вычислимых ординалов

Доказано, что для любого вычислимого ординала $\alpha$ существуют обозначение $a \in O$ и частично вычислимая функция со следующим свойством: если даны два обозначения $b$ и $c$ из множества $\{ t \in O \mid t <_{O} a \}$ для ординалов $\beta$ и $\gamma$ соответственно, и при этом $\beta + \gamma < \alpha$, то она находит обозначение для $\beta + \gamma$ из этого же множества. Кроме того, строятся примеры, показывающие, что не все обозначения для ординалов $\alpha \geqslant \omega^{2}$ обладают этим свойством.