Две специальные функции типа обобщенной функции Миттаг–Леффлера в решениях интегральных и дифференциальных уравнений с операторами Римана–Лиувилля и Кобера

Рассмотрены две специальные функции типа обобщённой функции Миттаг–Леффлера. Первая является модификацией функции, введённой А. А. Килбасом и М. Сайго, вторая — её специальным случаем. Приведены решения интегрального уравнения с оператором Кобера и правой частью в виде обобщённого степенного ряда. Рассмотрен специальный случай значений одного из параметров интегрального уравнения. Доказана теорема существования и единственности решений, которые удаётся найти в явном виде в терминах введённых специальных функций Исследуется корректность постановок начальных задач для линейных дифференциальных уравнений с производными Римана–Лиувилля и Кобера. Решения задач типа Коши находятся в специальных классах функций с суммируемой дробной производной путём редукции к рассмотренным ранее интегральным уравнениям и также записываются в явном виде в терминах указанных специальных функций. Обоснована возможность замены начальных условий типа Коши видоизменёнными (весовыми) условиями Коши. Рассмотрены частные случаи значений параметров дифференциальных уравнений, при которых задачи с условиями типа Коши могут оказаться некорректно поставленными в смысле потери единственности решения. В этом случае удаётся найти единственное решение задач с весовыми условиями Коши. Отмечено, что весовая задача Коши позволяет расширить область допустимых значений параметров дифференциальных уравнений на случай, когда дробная производная искомой функции имеет несуммируемую особенность в нуле.