Приведение суммы взвешенных одинаковых степеней к явному комбинаторному представлению

Доказывается, что компонент суммы взвешенных одинаковых степеней натуральных чисел, зависимый от весовых коэффициентов, равен сумме произведений биномиальных и весовых коэффициентов. Также доказывается, что компонент этой суммы, независимый от весовых коэффициентов, является алгебраической суммой произведений биномиальных коэффициентов и степеней натуральных чисел. Явное комбинаторное представление суммы взвешенных одинаковых степеней содержит величины, берущиеся из доказанных равенств.