Об уточнении локализации азимутальных чисел Матье с помощью овалов Кассини

Рассматривается проблема построения $2\pi$-периодических по «угловой» переменной решений дифференциального уравнения Матье для «окружных» гармоник эллиптического цилиндра, ассоциированных собственных значений и соответствующих азимутальных чисел с целью численного генерирования элементарных волновых функций эллиптического цилиндра. Приводится обобщение на случай эллиптической геометрии понятия азимутального числа (азимута) волны, распространяющейся в длинном цилиндрическом волноводе, известного в случае канонической круговой геометрии. Периодическая и полупериодическая задачи Штурма"– Лиувилля для дифференциального уравнения Матье приводятся к спектральной задаче для линейного самосопряжённого оператора в комплексном гильбертовом пространстве бесконечных квадратично суммируемых двусторонних последовательностей. Этот оператор расщепляется на сумму бесконечномерного диагонального оператора и одного бесконечномерного симметричного бистохастического оператора, выполняющего роль «конечного» возмущения, накладываемого на указанный диагональный оператор. Разработаны простые алгоритмы вычисления собственных значений «углового» уравнения Матье с вещественными параметрами и возмущенных вследствие перехода от круговой к эллиптической геометрии азимутальных чисел, а также соответствующих собственных функций. Указанные алгоритмы в итоге сводятся к построению матрицы, диагонализирующей одну бесконечную симметричную пентадиагональную матрицу. С помощью кругов Гершгорина и овалов Кассини построены уточняющие друг друга двусторонние оценки для собственных значений дифференциального оператора Матье.