Дифференциальные уравнения и математическая физика
О решениях задачи Шварца для $J$-аналитических функций с одинаковым жордановым базисом действительной и мнимой части матрицы $J$
В. Г. Николаев Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого, г. Великий Новгород, 173003, Россия
Аннотация:
Изучена граничная задача Шварца для
$J$-аналитических функций. Они представляют собой решения линейной комплексной системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Рассмотрен тот случай, когда действительная и мнимая части матрицы
$J$ приводятся к треугольному виду одним и тем же комплексным преобразованием. В основной теореме доказан критерий для собственных чисел матрицы
$J$, при выполнении которого в плоских областях, ограниченных контуром Ляпунова, решение задачи Шварца существует и единственно. Так же получена равносильная форма данного критерия, которая во многих случаях более удобна для проверки. При доказательстве теоремы используются известные факты о граничных свойствах
$\lambda$-голоморфных функций. Само доказательство основано на методе прямой и обратной редукции задачи Шварца к задаче Дирихле для вещественных эллиптических систем в частных производных второго порядка. Построены примеры матриц, для которых указанный критерий выполнен.
Ключевые слова:
задача Шварца,
$\lambda$-голоморфная функция, контур Ляпунова, жорданова форма, жорданов базис,
характеристическое уравнение, эллиптическая система, задача Дирихле.
УДК:
517.956.2
MSC: 35J25,
35J56 Поступила в редакцию 14/IV/2016
в окончательном варианте – 22/V/2016
DOI:
10.14498/vsgtu1491