Дифференциальные уравнения и математическая физика
Потенциалы для трехмерного эллиптического уравнения с одним сингулярным коэффициентом и их применение
Т. Г. Эргашевab a Институт математики им. В. И. Романовского
Академии наук Республики Узбекистан, г. Ташкент, 100174, Узбекистан
b Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства, г. Ташкент, 100000, Узбекистан
Аннотация:
Рассматривается теория потенциала для трехмерного эллиптического уравнения с одним
сингулярным коэффициентом.
В рассмотрение вводятся потенциалы двойного и простого слоев с неизвестной плотностью, которые выражаются через фундаментальное решение названного эллиптического уравнения.
При исследовании этих потенциалов используются свойства гипергеометрической функции Гаусса.
Доказаны теоремы о предельных значениях введенных потенциалов и их конормальных производных, которые позволяют эквивалентным образом свести краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений к интегральному уравнению второго рода, к которому применима теория Фредгольма.
В качестве приложения изложенной теории в области, ограниченной координатной плоскостью
$x=0$ и поверхностью Ляпунова при
$x>0$, для трехмерного эллиптического уравнения с одним сингулярным коэффициентом решается задача Хольмгрена.
Единственность решения поставленной задачи доказывается известным методом
$abc$, а существование — методом функции Грина, регулярная часть которой ищется в виде потенциала двойного слоя с временно неизвестной плотностью.
Решение задачи Хольмгрена находится в виде, удобном для дальнейших исследований.
Ключевые слова:
трехмерное эллиптическое уравнение с одним сингулярным
коэффициентом, фундаментальные решения, теория потенциала, функция Грина, задача Хольмгрена.
УДК:
517.956.6
MSC: 35J70,
33C20,
33C65 Получение: 22 июля 2020 г.Исправление: 4 февраля 2021 г.Принятие: 11 мая 2021 г.Публикация онлайн: 11 июня 2021 г.
DOI:
10.14498/vsgtu1810