Начально-граничная задача для вырождающегося гиперболического уравнения второго рода с тремя линиями вырождения

В прямоугольной области рассмотрено дифференциальное уравнение в частных производных гиперболического типа второго рода, вырождающееся на боковых сторонах и на основании прямоугольника. Для рассматриваемого уравнения сформулирована начально-граничная задача с нелокальными граничными условиями. Исследованы единственность, существование и устойчивость решения поставленной задачи. Единственность решения задачи доказана методом интегралов энергии. Существование решения задачи исследовано с применением метода Фурье, основанного на разделении переменных. При этом сначала исследована спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения, возникающая из поставленной задачи при разделении переменных. Доказано, что спектральная задача может иметь только положительное собственное значение. Далее построена функция Грина спектральной задачи, с помощью чего она эквивалентно сведена к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром. Отсюда на основании теории интегральных уравнений заключено, что существует счетное число собственных значений и собственных функций спектральной задачи. Найдены условия, при которых заданная функция разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям спектральной задачи. C использованием свойств функции Грина спектральной задачи доказана лемма о равномерной сходимости некоторых билинейных рядов, которые используются при доказательстве существования решения поставленной задачи. Доказаны также леммы о порядке коэффициентов Фурье заданной функции. Решение изучаемой задачи выписано в виде суммы ряда Фурье по системе собственных функций спектральной задачи. Равномерная сходимость этого ряда и рядов, полученных из него почленным дифференцированием, доказана с помощью лемм, перечисленных выше. В конце статьи получены две оценки для решения поставленной задачи, одна из которых — в пространстве квадратично суммируемых функций с весом, а другая — в пространстве непрерывных функций. Из этих неравенств следует устойчивость решения в соответствующих пространствах.