RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки» // Архив

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2024, том 28, номер 1, страницы 171–185 (Mi vsgtu2030)

Краткие сообщения
Дифференциальные уравнения и математическая физика

Решение одной краевой задачи для уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами

Ю. П. Апаковab, Р. А. Умаровb

a Институт математики имени В. И. Романовского АН Республики Узбекистан, г. Ташкент, 100174, Узбекистан
b Наманганский инженерно-строительный институт, г. Наманган, 160100, Узбекистан

Аннотация: В прямоугольной области рассматривается вторая краевая задача для неоднородного дифференциального уравнения в частных производных третьего порядка с кратными характеристиками и с переменными коэффициентами. Единственность решения поставленной задачи доказана методом интегралов энергии. Для случая нарушения условий теоремы единственности построен контрпример.
Решение задачи ищется в виде произведения двух функций $X(x)$ и $Y(y)$ с использованием метода разделения переменных. Для определения $Y(y)$ получено обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с двумя граничными условиями на границах сегмента $[ 0, q ]$. Для этой задачи найдены собственные значения и соответствующие им собственные функции при $n=0$ и $n\in \mathbb N$. Для определения $X(x)$ получено обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка с тремя граничными условиями на границах сегмента $[ 0, p ]$. Решение указанной задачи построено методом функции Грина. Отдельная функция Грина была построена для $n=0$ и отдельная функция Грина для случая, когда $n$ натуральное. Проверено, что найденные функции Грина удовлетворяют граничным условиям и свойствам функции Грина. Решение для $X(x)$ выписано через построенную функцию Грина.
После некоторых преобразований получено интегральное уравнение Фредгольма второго рода, решение которого выписано через резольвенту. Получены оценки резольвенты и функции Грина. Доказана равномерная сходимость решения и возможность его почленного дифференцирования при некоторых условиях на заданные функции. Сходимость производной третьего порядка решения по переменной $x$ доказывается с помощью неравенств Коши–Буняковского и Бесселя. При обосновании равномерной сходимости решения доказывается отсутствие “малого знаменателя”.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, третий порядок, кратные характеристики, вторая краевая задача, регулярное решение, единственность, существование, функция Грина

УДК: 617.951

MSC: 35G15

Получение: 7 июня 2023 г.
Исправление: 7 февраля 2024 г.
Принятие: 4 марта 2024 г.
Публикация онлайн: 6 августа 2024 г.

DOI: 10.14498/vsgtu2030



© МИАН, 2024