Краткие сообщения
Дифференциальные уравнения и математическая физика
Решение одной краевой задачи для уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами
Ю. П. Апаковab,
Р. А. Умаровb a Институт математики имени В. И. Романовского АН Республики Узбекистан, г. Ташкент, 100174, Узбекистан
b Наманганский инженерно-строительный институт,
г. Наманган, 160100, Узбекистан
Аннотация:
В прямоугольной области рассматривается вторая краевая задача для неоднородного дифференциального уравнения в частных производных третьего порядка с кратными характеристиками и с переменными коэффициентами. Единственность решения поставленной задачи доказана методом интегралов энергии.
Для случая нарушения условий теоремы единственности построен контрпример.
Решение задачи ищется в виде произведения двух функций
$X(x)$ и
$Y(y)$ с использованием метода разделения переменных. Для определения
$Y(y)$ получено обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с двумя граничными условиями на границах сегмента
$[ 0, q ]$.
Для этой задачи найдены собственные значения и соответствующие им собственные функции при
$n=0$ и
$n\in \mathbb N$.
Для определения
$X(x)$ получено обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка с тремя граничными условиями на границах сегмента
$[ 0, p ]$.
Решение указанной задачи построено методом функции Грина.
Отдельная функция Грина была построена для
$n=0$ и отдельная функция Грина для случая, когда
$n$ натуральное. Проверено, что найденные функции Грина удовлетворяют граничным условиям и свойствам функции Грина.
Решение для
$X(x)$ выписано через построенную функцию Грина.
После некоторых преобразований получено интегральное уравнение Фредгольма второго рода, решение которого выписано через резольвенту. Получены оценки резольвенты и функции Грина.
Доказана равномерная сходимость решения и возможность его почленного дифференцирования при некоторых условиях на заданные функции.
Сходимость производной третьего порядка решения по переменной
$x$ доказывается с помощью неравенств Коши–Буняковского и Бесселя.
При обосновании равномерной сходимости решения доказывается отсутствие “малого знаменателя”.
Ключевые слова:
дифференциальное уравнение, третий порядок, кратные характеристики, вторая краевая задача, регулярное решение, единственность, существование, функция Грина
УДК:
617.951
MSC: 35G15 Получение: 7 июня 2023 г.Исправление: 7 февраля 2024 г.Принятие: 4 марта 2024 г.Публикация онлайн: 6 августа 2024 г.
DOI:
10.14498/vsgtu2030